數學家提出了一種簡化物質通過細胞壁轉移的數學模型的方法

RUDN大學的一位數學家提出了一種使用橢圓算子的分數次冪對方程進行數值求解的新方案。新方案比現有方案工作得更快，因為它考慮了此類方程在奇點處解的性質。該結果對于計算擴散過程可能有用，例如，多孔介質中的流體泄漏，營養(yǎng)物質通過細胞壁的轉移以及彈性材料的破裂。該研究發(fā)表在《計算機與數學及其應用》上。

經典擴散 方程是偏微分方程。它描述了物質在特定環(huán)境中的分布過程。該方程的解是時間t和點x的函數，它表示在時間t點x處物質的濃度u(t，x)。如果介質是均質的，則擴散方程包含關于u的t的一階導數和關于坐標的u的二階導數之和。該和稱為拉普拉斯算子，并且在數學和物理學的各個領域中使用，包括復函數理論和Schrödinger方程。

RUDN大學應用數學計算方法科學中心的數學家Petr Vabishchevich和他的同事Raimondas Ciegis，立陶宛維爾紐斯維爾紐斯·吉迪米納斯技術大學數學教授，認為分數擴散方程的一種變體是拉普拉斯算子被帶到分數階。程度由公式確定，從理論上講很方便，但完全不適合計算。同時，與解決方案相關的實用計算是應用程序中的重要任務。

如果很難以一般形式求解方程，則數學家會使用數值方法。有幾種傳統(tǒng)上用于分數擴散方程。例如，其中之一假設解決方案簡化為幾種稱為本地系統(tǒng)的順序解決方案。這些系統(tǒng)具有橢圓性，即這些方程類似于無分數階的擴散方程。這樣的系統(tǒng)在數值上很好地解決了。但是，當需要從獲得的解決方案中“整體”解決原始問題的近似解決方案時，這些部分就無法始終“很好地”配合在一起-獲得的解決方案有時會準確地近似于原始問題的解決方案，有時它差別很大。

Petr Vabishchevich和他的同事選擇了另一種方法，將分數階擴散方程的解簡化為多個局部系統(tǒng)。從某種意義上講，所得的系統(tǒng)不具有橢圓性，甚至更差。而且，該系統(tǒng)包括具有不連續(xù)性的功能，這通常意味著對于數值問題的可解決性較低。但是在這種特殊情況下，事實證明，對計算時間步的正確選擇以及對系統(tǒng)本身的良好選擇，都可以使數值解非常精確地近似于原始問題。

而且，似乎RUDN大學數學家提出的方法通常比同等方法更快。這是因為向新解決方案的過渡發(fā)生在新方案的最后一步。在其他方法中，逼近過程分為多個階段，這導致了計算誤差的累積。新方法不會發(fā)生這種情況。

分數擴散方程式描述了所謂的異常擴散，例如，液體在具有不連續(xù)性的多孔介質中的分布。另外，分數擴散通常描述了營養(yǎng)素在細胞內和組織中的轉移。這些一般形式的方程是不可解的，因此，科學家使用數值逼近，即近似解。RUDN大學的數學家的新方法將使許多情況下的計算速度更快。